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셀 수없는 무한 세트의 예

셀 수없는 무한 세트의 예

모든 무한 세트가 동일한 것은 아닙니다. 이러한 집합을 구별하는 한 가지 방법은 집합이 셀 수없이 무한한지 묻는 것입니다. 이런 식으로 무한 세트는 셀 수 있거나 셀 수 없습니다. 우리는 무한 세트의 몇 가지 예를 고려하고 그 중 어느 것이 계산할 수 없는지 결정할 것입니다.

셀 수없이 무한

우리는 무한 세트의 몇 가지 예를 배제하는 것으로 시작합니다. 우리가 즉시 생각할 많은 무한 세트는 셀 수없이 무한한 것으로 밝혀졌습니다. 이는 자연수와 일대일로 대응 될 수 있음을 의미합니다.

자연수, 정수 및 유리수는 모두 셀 수없이 무한합니다. 셀 수없이 무한한 집합의 합집합 또는 교집합도 계산할 수 있습니다. 셀 수있는 셀 수있는 세트의 카티 전 곱은 셀 수 있습니다. 계산 가능한 집합의 모든 하위 집합도 계산 가능합니다.

셀 수 없는

셀 수없는 집합이 도입되는 가장 일반적인 방법은 실수의 간격 (0, 1)을 고려하는 것입니다. 이 사실과 일대일 기능에서 에프( 엑스 ) = bx + 에이. 어떤 간격 (에이, )의 실수는 무한합니다.

실수의 전체 집합도 계산할 수 없습니다. 이를 보여주는 한 가지 방법은 일대일 접선 함수를 사용하는 것입니다 에프 ( 엑스 ) = 황갈색 엑스. 이 함수의 도메인은 구간 (-π / 2, π / 2), 셀 수없는 세트이며 범위는 모든 실수의 세트입니다.

기타 셀 수없는 세트

기본 집합 이론의 연산을 사용하여 셀 수없이 무한한 집합의 더 많은 예를 만들 수 있습니다.

  • 만약 에이 의 하위 집합입니다 에이 셀 수 없습니다. . 이것은 전체 실수 세트가 셀 수 없음을보다 간단하게 증명합니다.
  • 만약 에이 헤아릴 수없고 어떤 집합이든 에이 또한 셀 수 없습니다.
  • 만약 에이 헤아릴 수없고 어떤 세트이면 직교 곱 에이 엑스 또한 셀 수 없습니다.
  • 만약 에이 무한대 (심지어 셀 수없이 무한대) 에이 셀 수 없습니다.

서로 관련된 두 가지 다른 예는 다소 놀랍습니다. 실수의 모든 부분 집합이 셀 수없이 무한하지는 않습니다 (실제로 합리적인 숫자는 밀도가 높은 실수의 셀 수있는 부분 집합을 형성합니다). 특정 하위 집합은 셀 수없이 무한합니다.

이러한 셀 수없이 무한한 하위 집합 중 하나에는 특정 유형의 소수 확장이 포함됩니다. 두 개의 숫자를 선택하고이 두 자릿수만으로 가능한 모든 십진 확장을 구성하면 결과 무한 세트는 계산할 수 없습니다.

또 다른 세트는 구성하기가 더 복잡하고 셀 수 없습니다. 닫힌 간격 0,1로 시작하십시오. 이 세트의 중간 1/3을 제거하면 0, 1/3 U 2/3, 1이됩니다. 이제 나머지 세트의 중간 1/3을 제거합니다. 따라서 (1/9, 2/9) 및 (7/9, 8/9)가 제거됩니다. 우리는 이런 방식으로 계속합니다. 이러한 모든 간격이 제거 된 후에 남아있는 일련의 점은 간격이 아니지만 무한정입니다. 이 세트를 캔터 세트라고합니다.

셀 수없이 많은 세트가 있지만 위의 예는 가장 일반적으로 발생하는 세트 중 일부입니다.